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1. Introduction 

Resonances是能量被夾在兩個平行板(power and ground plane)之間，因原始訊號與其反射訊號同相(phase add)而形成共振腔效應(Cavity/Resonator)。該諧振頻點的原始激發能量來自兩種因素：SSN或訊號透過貫孔換層走線時，reference plane改變，return current不連續所引起的ground bounce。[1]

由SSN所引起的resonance，可以用lump model與distribute model來解釋。當邏輯訊號的rise/fall time夠小，也就是驅動訊號變化很快，快到邏輯閘對power/ground plane間的等效電容充放電時，感受到電流從板子的一端流到另外一端的時間(round-trip delay)接近或大於訊號的rise/fall time，足以在power path形成IR drop，那就必須把這兩平面間的等效電容由lump model轉成distribute model來分析。板子較小，或訊號速度較慢時，平面之間的寄生電容效應可以用lump model就好，此時不需考慮resonance。這就像傳輸線模型是由lump model轉成distribute model的情況。[2]

Fast drivers perceive the power-and-ground structure as a distributed object with a significant delay.

當我們考慮power/ground plane間的等效電容為distribute model，此時某個IO drive瞬間，會對驅動訊號周圍有限半徑區域內的power plane，形成一個有IR drop波動的電源位準平面，開始了一個resonance的激發源，把這激發源想成像一個水波漣漪般的向周圍擴散，當遇到板邊時會產生反射，反射訊號與原激發訊號(SSN)如果相位同相加乘就發生resonance。

對於尺寸10~20英吋的板子，諧振頻率大約在150MHz~300MHz，這也是為何我們可以靠下(0.1~0.01uF)電容，降低兩個平面間的impedance以改善resonance，但這樣的解法只能改善power-ground平面間的低頻諧振成份，對於降低高頻諧振效果不大。要降低兩平行板間1~2GHz以上的高頻諧振，則需要把dielectric layer儘可能做薄，或是使用最近很熱門的[電磁能隙EBG]結構。(但[電磁能隙EBG]結構會使得低頻SI與IR drop特性較差)

本文想討論PCB板子的幾何尺寸、形狀，與堆疊參數，對諧振頻率的影響：發現當平面切的越碎，或加電容抑制resonance時，低頻諧振頻點會增加。

2. TE、TM、TEM Mode  [3][4][5]

在給定邊界條件的情況下，馬克斯威爾方程式可能存在線性獨立的不同解(電磁場分佈/場型)，稱為"模態" (mode)。TE或TM Mode在波導中按橫截面內電磁場的幅度變化寫成TE_mn或TM_mn，其中m、n表示場強沿某座標維度的起伏次數。(0表示不振，1表示1/2波長，2表示1波長)

TE(Transverse Electric) Mode (橫電波)：E_z=0 and H_z¹0，能量傳遞方向與磁場相同，而與電場垂直

TM(Transverse Magnetic) Mode (橫磁波)：H_z=0 and E_z¹0，能量傳遞方向與電場相同，而與磁場垂直

TEM(Transverse ElectroMagnetic) Mode (橫電磁波)：E_z=H_z=0，能量傳遞方向同時與電場和磁場垂直，又稱transmission line mode (平面波即屬此類)。

TEM mode不發生於單獨的導體，其存在於至少兩個分離的導體(如coaxial cable, micro-strip line)

The key factor being that Electric and Magnetic Fields are always perpendicular to each other. This is a primary principle that Maxwell discovered. The two always travel together in electromagnetic waves.

3. 完整平面結構  

3.1 90mm x 80mm rectangle with 3.6 mils stack

TE10 (0.78G)    TE01 (0.88G)

TE11 (1.18G)  TE20 (1.58G)

TE02 (1.78G)  TE21 (1.82G)

TE12 (1.95G)  TE30 (2.39G)

TE22 (2.40G)  TE31 (2.56G)

3.2 45mm x 40mm rectangle with 3.6 mils stack

TE10 (1.58G)  TE01 (1.78G)

同樣的平面幾何形狀，若尺寸等比例縮小一半，諧振頻點的頻率則正好增加一倍。這是因為諧振頻率就是駐波的波長/2

4. 分割的平面結構(split)  

4.1 完全分開的plane -- 90mm x 80mm rectangle with 3.6 mils stack

   

4.2 沒完全分開的plane -- 90mm x 80mm rectangle with 3.6 mils stack

   

   

   

5. 90mm x 80mm rectangle下電容後

把sec 3.1的例子，右上與右下兩個邊角，各加一個0.1uF的理想電容(不帶寄生電感與寄生電阻效應)，發現原本0.78、0.88GHz諧振頻點消失了，但增加了很低頻的32MHz、270MHz。

32M   0.27G

0.9G   0.95G

1.36G  1.63G

雖然這裡加的抑制resonance電容是理想電容(無寄生電感成份)，但加電容後所新增的諧振頻點
-- 低頻新增的頻點(32M)是原迴路電感與新增電容所產生的反諧振點(anti-resonance)
-- 高頻新增的頻點是de-coupling capacitor所提供的一條新的電流迴流路徑(by-pass)，改變了原有的諧振頻點

6. 問題與討論

6.1 Resonant Mode設定中的[Minimum Frequency]是怎麼決定的? 

Ans：SIwave會自動以plane size給出minimum frequency建議值，而這建議的最小共振頻點與平面的對角線長、介電常數開根號呈反比

6.2 對於由兩個相鄰平面所夾出的共振腔來說，是屬於TE還是TM Mode? 

Ans：兩相鄰平面間因距離遠小於平面面積大小，可視為其間的電場方向是均勻垂直於該平面的，故是TE mode

6.3 如何抑制resonance，又改善resonance對PI (Power Integrity)的意義為何? 

Ans：要抑制特定區域的resonance，可以在該區域加上適當頻寬的de-cap或GND via，其效果就像把圖釘定在被風吹動的海報上，在下電容的去耦半徑內幾乎不會振，其效果跟抑制特定頻點的Z-profile(Z₁₁)相同，可以改善SSN、降低noise floor與EMI。少數的情況，電容的C與板子上的迴路電感L自己就形成了共振頻率，如本文sec5的32MHz。

6.4 就完整的平面來說，尺寸越小諧振頻點越高，但把一個大平面分割後，卻會增加較低頻的諧振頻點(0.18GHz、0.6GHz)? 

Ans：這是因為平面切割後，限制了迴流電流路徑，增加整個迴路阻抗的電感性，故f=1/[2*pi*((LC)^0.5)]降低。

7. Reference 

[1] Eric Bogatin, "Signal Integrity - Simplified", 2003, sec.7.14

[2] Power Plane Resonance -- 看看大師如何從lumped-element與signal delay的角度來說明resonance的成因

[3] Wave Guide Modes - TE10, TE01, TE11, TE20, TM11, TM21

[4] TEM, TE and TM modes for Waveguides

[5] Transmission Lines and Waveguides

[6] SIwave諧振模式中，頻率為何是複數?

[7] PI and Ground bounce optimize -- Ansoft
     中華電信所與Ansoft合作分析一塊複雜的Altera+Xillinx開發板，從依諧振分析來決定擺放IC的位置到放de-coupling capacitor位置、SIwave與HFSS的模擬比較，蠻好的一份PI分析流程